Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，PA⊥平面ABCD，E為線(xiàn)段PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AD=DC=2，求點(diǎn)E到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)線(xiàn)段AD的中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B．通過(guò)線(xiàn)面平行證明平面EFB∥平面PCD，再證明：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點(diǎn)E到平面PCD的距離與點(diǎn)B到平面PCD的距離相等，利用，等體積方法求點(diǎn)E到平面PCD的距離．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)線(xiàn)段AD的中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B．
在△PAD中，EF為中位線(xiàn)，
故EF∥PD．
又EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
在底面直角梯形ABCD中，F(xiàn)D∥BC，且FD=BC，故四邊形DFBC為平行四邊形，
即FB∥CD．
又FB?平面PCD，CD?平面PCD，所以FB∥平面PCD．
又因?yàn)镋F?平面EFB，F(xiàn)B?平面EFB，且EF∩FB=F，所以平面EFB∥平面PCD．
又BE?平面EFB，所以有BE∥平面PCD．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，點(diǎn)E到平面PCD的距離與點(diǎn)B到平面PCD的距離相等．
連接AC，設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為h，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PA⊥AC．
根據(jù)題意，在Rt△PAD中，PD=2$\sqrt{2}$，在Rt△ADC中，AC=2$\sqrt{2}$，
在Rt△PAC中，PC=2$\sqrt{3}$，由于PD²+CD²=PC²，
所以△PCD為直角三角形，S_△PCD=2$\sqrt{2}$．
V_B-PCD=$\frac{1}{3}$•S_△PCD•h=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$h．
又V_P-BCD=$\frac{1}{3}$•S_△BCD•AP=$\frac{2}{3}$，所以h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即點(diǎn)E到平面PCD的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查點(diǎn)E到平面PCD的距離、三棱錐體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．