Question

18．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{e}，+∞）$．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為f′（x）=lnx-ax＜0在（0，+∞）恒成立，求出f′（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²-x的定義域是（0，+∞），
f′（x）=lnx-ax，
若函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)，
則f′（x）=lnx-ax≤0在（0，+∞）恒成立，
或f′（x）=lnx-ax≥0在（0，+∞）恒成立，
①f′（x）=lnx-ax≤0時，顯然a＞0，
f″（x）=$\frac{1-ax}{x}$，
令f″（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
令f″（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
∴f′（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
∴f′（x）_max=f′（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1≤0，
解得：a≥$\frac{1}{e}$，
②f′（x）=lnx-ax≥0時，即lnx≥ax在（0，+∞）恒成立，
顯然不合題意；
故答案為：$[\frac{1}{e}，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．