如圖所示，四棱錐P-ABCD，底面四邊形ABCD是正方形，側面PCD是邊長為a的正三角形，且平面PCD⊥底面ABCD，E為PC的中點．
（1）求異面直線PA與DE所成角的余弦值；
（2）求AP與平面ABCD所成的正切值．
考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角
專題：空間角
分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線PA與DE所成角的余弦值．
（2）
AP
=（-a，
1
2
a，
3
2
a），平面ABCD的法向量
n
=（0，0，1），利用向量法能求出AP與平面ABCD所成的正切值．
解答： 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
A（a，0，0），P（0，
1
2
a，
3
2
a），D（0，0，0），E（0，
3
4
a，
3
4
a），
AP
=（-a，
1
2
a，
3
2
a），
DE
=（0，
3
4
a，
3
4
a），
cos＜
AP
，
DE
＞=
0+
3
8
a+
3
8
a
2
a•
3
2
a
=
6
4
，
∴異面直線PA與DE所成角的余弦值為
6
4
．
（2）∵
AP
=（-a，
1
2
a，
3
2
a），平面ABCD的法向量
n
=（0，0，1），
設AP與平面ABCD所成角為θ，
sinθ=|cos＜
AP
，
n
＞|=|
3
2
a
2
a
|=
6
4
，
∴tanθ=
15
5
．
∴AP與平面ABCD所成的正切值為
15
5
．
點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查線面角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．
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．

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2
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．

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2secα
1+tan2α
+
tanα
sec2α-1
=
 
．

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x2
9
+
y2
4
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．

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