Question

19．已知方程：|x-2|+|x+1|=a（a∈R）有解．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求g（a）=a+$\frac{32}{a^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值三角不等式求得y的最小值，從而求得a的范圍．
（2）由a≥3，及均值不等式求得g（a）的最小值．

解答 （1）設(shè)y=|x-2|+|x+1|，由絕對值的性質(zhì)可知：y=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）-（x+1）|=3，
∴函數(shù)y=|x-2|+|x+1|的值域是y≥3，
要使方程|x-2|+|x+1|=a有解，a≥y_最小值 ，
∴a的取值范圍是：a≥3．
（2）由a≥3，及均值不等式，可知$g（a）=a+\frac{32}{a^2}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{32}{a^2}≥3\root{3}{{\frac{a}{2}×\frac{a}{2}×\frac{32}{a^2}}}=6$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{2}=\frac{32}{a^2}$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，a=4∈（3，+∞），
∴$g（a）=a+\frac{32}{a^2}$的最小值等于6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．