Question

14．已知f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)．且當0＜x≤1時．f（x）=lg（x²+9），則（1）函數(shù)f（x）的表達式為$\left\{\begin{array}{l}{lg（x^2+9），0＜x≤1}\\{-lg（x^2+9），-1≤x＜0}\end{array}\right.$（2）函數(shù)f（x）最大值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)在（0，1]的解析式求出函數(shù)在[-1，0）上的解析式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，且x∈（0，1]時，f（x）=lg（x²+9），
∴當x∈[-1，0）時，f（x）=-f（-x）=-lg[（-x）²+9]=-lg（x²+9），
因此，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg（x^2+9），0＜x≤1}\\{-lg（x^2+9），-1≤x＜0}\end{array}\right.$；
（2）∵當x∈（0，1]時，f（x）=lg（x²+9），
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，且f（x）為奇函數(shù)，
所以，f（x）在[-1，0）也單調(diào)遞增，因此，
①當x=1時，函數(shù)取得最大值，f（x）_max=f（1）=lg10=1；
②當x=-1時，函數(shù)取得最小值，f（x）_min=f（-1）=-lg10=-1；
故函數(shù)f（x）的最大值為1．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)解析式的求法，以及應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，還考查了分類討論思想，屬于容易題．