Question

19．如圖，已知圓O的內(nèi)接四邊形BCED，BC為圓O的直徑，BC=2，延長CB，ED交于A點，使得∠DOB=∠ECA，過A作圓O的切線，切點為P，
（1）求證：BD=DE；
（2）若∠ECA=45°，求AP²的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE，由已知得CE∥OD，從而∠BOD=∠EOD，由此能證明BD=DE．
（2）推導出∠COE=90°，CE=$\sqrt{2}$，OD=1，AB=$\sqrt{2}$，由此利用切割線定理能求出AP²．

解答 證明：（1）連結(jié)OE，∵圓O的內(nèi)接四邊形BCED，BC為圓O的直徑，
BC=2，延長CB，ED交于A點，使得∠DOB=∠ECA，
∴CE∥OD，∴∠CEO=∠EOD，
∵CO=EO，∴∠OCE=∠OEC，
∴∠BOD=∠EOD，
∴BD=DE．
解：（2）∵∠ECA=45°，BC為圓O的直徑，BC=2，
∴∠COE=90°，∴CE=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，OD=1，
∵OD∥CE，∴$\frac{OD}{CE}=\frac{AB+1}{AB+2}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得AB=$\sqrt{2}$，
∵過A作圓O的切線，切點為P，
∴AP²=AB•（AB+2）=$\sqrt{2}（\sqrt{2}+2）$=2+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查線段長相等的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．