Question

6．已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱SA，SB，SC兩兩互相垂直，D，E，F(xiàn)分別是它們的中點，SA=SB=SC=2，現(xiàn)從A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點中任取三個點，加上點S，把這四個點每兩個點相連后得到一個“空間體”，記這個“空間體”的體積為X（若點S與所取三點在同一平面內(nèi)，則規(guī)定X=0）．
（Ⅰ）求事件“X=0”的概率；
（Ⅱ）求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出從A、B、C、D、E、F六個點中任取三個點的所有不同的取法，再求出其中所選取的3個點與點S在同一平面內(nèi)的取法，然后利用古典概型概率計算公式求得所求事件“X=0”的概率；
（Ⅱ）由題意可得X的所有可能取值為0，$\frac{1}{6}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}$．然后利用古典概型概率計算公式分別求出概率，列出頻率分布表，再由期望公式求期望．

解答 解：（Ⅰ）從A、B、C、D、E、F六個點中任取三個點共有${C}_{6}^{3}=20$種不同的取法，
其中所選取的3個點與點S在同一平面內(nèi)的取法有${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{3}=12$不同取法，
∴所求事件“X=0”的概率P（X=0）=$\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）由題意可得X的所有可能取值為0，$\frac{1}{6}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}$．
由（Ⅰ）得：P（X=0）=$\frac{3}{5}$，
P（X=$\frac{1}{6}$）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$，
P（X=$\frac{1}{3}$）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{3}{20}$，
P（X=$\frac{2}{3}$）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{3}{20}$，
P（X=$\frac{4}{3}$）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$．
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{3}$
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴E（x）=$0×\frac{3}{5}+\frac{1}{6}×\frac{1}{20}+\frac{1}{3}×\frac{3}{20}+\frac{2}{3}×\frac{3}{20}+\frac{4}{3}×\frac{1}{20}=\frac{9}{40}$．

點評 本小題主要考查概率、概率與統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及應(yīng)用意識，屬中檔題．