【題目】對定義在[0,1]上的函數(shù)f(x),如果同時滿足以下三個條件:
①對任意x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).
(1)判斷g(x)=2x﹣1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù),并說明理由;
(2)若f(x)為理想函數(shù),求f(x)的最小值和最大值;
(3)若f(x)為理想函數(shù),假設(shè)存在x0∈[0,1]滿足f[f(x0)]=x0,求證:f(x0)=x0.
【答案】(1)是;(2)f(x)取得最小值2,f(x)取得最大值3;(3)見解析.
【解析】
(1)①顯然f(x)=2x﹣1在[0,1]上滿足f(x)≥0;②f(1)=1.
若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,
則有f(x1+x2)﹣[f(x1)+f(x2)]=2x1+x2﹣1﹣[(2x1﹣1)+(2x2﹣1)]=(2x2﹣1)(2x1﹣1)≥0
故f(x)=2x﹣1滿足條件①②③,所以f(x)=2x﹣1為理想函數(shù),
(2)設(shè)x1,x2∈[0,1],x1<x2,則x2﹣x1∈(0,1]
∴f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]≥f(x2﹣x1)+f(x1)﹣2
∴f(x2)﹣f(x1)≥f (x2﹣x1)﹣2≥0,
∴f(x1)≤f(x2),則當0≤x≤1時,f(0)≤f(x)≤f(1),
在③中,令x1=x2=0,得f(0)≤2,由②得f(0)≥2,
∴f(0)=2,當x=1時,f(1)=3,
∴當x=0時,f(x)取得最小值2,
當x=1時,f(x)取得最大值3,
(3)由條件③知,任給m、n∈[0,1],當m<n時,由m<n知n﹣m∈[0,1],
∴f(n)=f(n﹣m+m)≥f(n﹣m)+f(m)≥f(m).
若f(x0)>x0,則f(x0)≤f[f(x0)]=x0,前后矛盾;
若:f(x0)<x0,則f(x0)≥f[f(x0)]=x0,前后矛盾.
故f(x0)=x0.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在(﹣8,8)上的偶函數(shù),f(x)在[0,8)上是單調(diào)函數(shù),且f(﹣3)<f(2)則下列不等式成立的是( )
A.f(﹣1)<f(1)<f(3)
B.f(2)<f(3)<f(﹣4)
C.f(﹣2)<f(0)<f(1)
D.f(5)<f(﹣3)<f(﹣1)
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【題目】數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,n∈N+,an+2=an+1﹣an,則a2020=( )
A.1B.5C.﹣2D.﹣3
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【題目】一位老師將三道題(一道三角題,一道數(shù)列題,一道立體幾何題)分別寫在三張卡紙上,安排甲、乙、丙三位學(xué)生各抽取一道.當他們被問到誰做立體幾何題時,甲說:“我抽到的不是立體幾何題”,乙說:“我喜歡三角,可惜沒抽到”,丙說:“乙抽到的肯定不是數(shù)列題”.事實證明,這三人中只有一人說的是假話,那么抽到立體幾何題的是( )
A.甲B.乙C.丙D.不確定
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【題目】若m,n均為非負整數(shù),在做m+n的加法時各位均不進位(例如:2019+100=2119,則稱(m,n)為“簡單的”有序?qū),?/span>m+n稱為有序?qū)Γ?/span>m,n)的值,那么值為2019的“簡單的”有序?qū)Φ膫數(shù)是( 。
A.100B.96C.60D.30
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【題目】已知m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,則下列命題中正確的有( ) 1)mα,nα,m∥β,n∥βα∥β
2)n∥m,n⊥αm⊥α
3)α∥β,mα,nβm∥n
4)m⊥α,m⊥nn∥α
A.0個
B.1個
C.2個
D.3個
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【題目】命題“x>0,使2x>3x”的否定是( )
A.x>0,使2x≤3x
B.x>0,使2x≤3x
C.x≤0,使2x≤3x
D.x≤0,使2x≤3x
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【題目】已知甲、乙、丙三人中,一位是河南人,一位是湖南人,一位是海南人,丙比海南人年齡大,甲和湖南人不同歲,湖南人比乙年齡。纱丝梢酝浦杭住⒁、丙三人中( )
A.甲不是海南人B.湖南人比甲年齡小C.湖南人比河南人年齡大D.海南人年齡最小
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