Question

直線y=kx+m（m≠0）與W：

x2

4

+y²=1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：欲證明四邊形OABC不可能為菱形，只須證明若OA=OC，則A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．設(shè)OA=OC=r，則A、C為圓x²+y²=r²與橢圓W：

x2

4

+y²=1的交點(diǎn)，從而解得

3x2

4

=r2-1，則A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．于是結(jié)論得證．

解答： 證明：如圖，
假設(shè)四邊形OABC為菱形，則有OA=OC，
設(shè)OA=OC=r，則A、C為圓x²+y²=r²與橢圓W：

x2

4

+y²=1的交點(diǎn)，
故

3x2

4

=r2-1，x²=

4

3

(r2-1)，則A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．
從而得到點(diǎn)B是W的頂點(diǎn)．這與題設(shè)矛盾．
于是結(jié)論得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．