Question

2．直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，1）且與線C：y=x³相切，若直線l不經(jīng)過第四象限，則直線l方程是3x-4y+1=0．

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），根據(jù)解析式求出導(dǎo)數(shù)、y₀，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程求出切線方程，把點(diǎn)（1，1）代入切線方程通過因式分解求出x，代入切線方程化簡(jiǎn)可得切線方程，利用直線l不經(jīng)過第四象限，得出直線l方程即可．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），由題意得y=3x²，y₀=x₀³，
則切線的斜率k=3x₀²，
∴切線方程是：y-x₀³=3x₀²（x-x₀），①
∵切線過點(diǎn)（1，1），∴1-x₀³=3x₀²（1-x₀），
化簡(jiǎn)得，2x₀³-3x₀²+1=0，
2（x₀³-1）-3（x₀²-1）=0，
則（x₀-1）（2x₀²-x₀-1）=0，
解得x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$，代入①得：3x-y-2=0或3x-4y+1=0，
∴切線方程為3x-y-2=0或3x-4y+1=0．
∵直線l不經(jīng)過第四象限，
∴直線l方程是3x-4y+1=0．
故答案為：3x-4y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即點(diǎn)P處的切線的斜率是該點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)值，以及切點(diǎn)在曲線上和切線上的應(yīng)用，注意在某點(diǎn)處的切線和過某點(diǎn)的切線的區(qū)別，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．