Question

7．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=3，AC⊥BC，點(diǎn)M在線段AB上．
（1）若M是AB中點(diǎn)，證明AC₁∥平面B₁CM；
（2）當(dāng)BM長(zhǎng)是多少時(shí)，三棱錐B₁-BCM的體積是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積的$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BC₁，交B₁C于E，連結(jié)ME，根據(jù)中位線定理得出AC₁∥EM，故而AC₁∥平面B₁CM；
（2）根據(jù)棱錐和棱柱的體積公式可知S_△BCM=$\frac{1}{3}$S_△ABC，故而B(niǎo)M=$\frac{1}{3}$AB．

解答 證明：（1）連結(jié)BC₁，交B₁C于E，連結(jié)ME．
∵側(cè)面B B₁C₁C為矩形，
∴E為BC₁的中點(diǎn)，又M是AB的中點(diǎn)，
∴ME∥AC₁．
又 ME?平面B₁CM，AC₁?平面B₁CM，
∴AC₁∥平面B₁C M．
（2）∵V${\;}_{{B}_{1}-BCM}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCM}•B{B}_{1}$，V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•BB₁，
V${\;}_{{B}_{1}-BCM}$=$\frac{1}{9}$V${\;}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{3}$S_△ABC，∴BM=$\frac{1}{3}$AB，
∵AC=BC=3，AC⊥BC，∴AB=3$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)BM=$\sqrt{2}$時(shí)，三棱錐B₁-BCM的體積是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積的$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積公式，屬于中檔題．