Question

14．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=1g（$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n），判斷數(shù)列{a_n}是否為單調(diào)數(shù)列，如是，請(qǐng)說(shuō)明{a_n}的單調(diào)性；如不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 由（$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n）（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n）=n²+1-n²=1，可得a_n=-lg（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n），再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．

解答 解：由（$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n）（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n）=n²+1-n²=1，
可得a_n=1g（$\sqrt{{n}^{2}+1}$-n）=lg$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1+n}}$=-lg（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n），
由$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n在n∈N^*上遞增，
可得lg（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n）在n∈N^*上遞增，
即有a_n=-lg（$\sqrt{{n}^{2}+1}$+n）在n∈N^*上遞減．
則數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷，注意運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．