Question

3．若h（x）=log₃x的定義域?yàn)閇1，9]，不等式[h（x）+2]²≤h（x³）+m+2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 8
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 把h（x）、h（x³）代入不等式[h（x）+2]²≤h（x³）+m+2，然后分離參數(shù)m，再由配方法求得最大值后得答案．

解答 解：不等式[h（x）+2]²≤h（x³）+m+2恒成立，
即$（lo{g}_{3}x+2）^{2}≤lo{g}_{3}{x}^{3}+m+2$恒成立，
∴m≥$（lo{g}_{3}x）^{2}+lo{g}_{3}x+2$．
∵x∈[1，9]，
∴l(xiāng)og₃x∈[0，2]，則$（lo{g}_{3}x）^{2}+lo{g}_{3}x+2$=$（lo{g}_{3}x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}$∈[2，8]．
∴m≥8．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了分離變量法求參數(shù)的范圍，考查配方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．