Question

4．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線上橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離相等．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線x-my-6=0與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若∠AFB=90°，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）拋物線上橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，±$\sqrt{p}$），利用拋物線上橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，求出p，即可求拋物線的方程；
（2）由題意，直線l：x=my+6，代入y²=4x得，y²-4my-24=0，利用∠AFB=90°，可得FA⊥FB，即$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，可得：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，即可求實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：（1）拋物線上橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，±$\sqrt{p}$），到拋物線頂點(diǎn)的距離的平方為$\frac{1}{4}$+p，
∵拋物線上橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，
∴$\frac{1}{4}$+p=（$\frac{1}{2}$+$\frac{p}{2}$）²，
∴p=2
拋物線的方程為：y²=4x．…
（2）由題意，直線l：x=my+6，代入y²=4x得，y²-4my-24=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-24，
∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0
可得：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0
∴（1+m²）y₁y₂+5m（y₁+y₂）+25=0
∴-24（1+m²）+20m²+25=0，
解得：m=±$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．