Question

7．在復(fù)平面上，點(diǎn)P（x，y）所對應(yīng)的復(fù)數(shù)p=x+yi（i為虛數(shù)單位），z=a+bi（a、b∈R）是某給定復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)q=p•z所對應(yīng)的點(diǎn)為Q（x′，y′），我們稱點(diǎn)P經(jīng)過變換z成為了點(diǎn)Q，記作Q=z（P）．
（1）給出z=1+2i，且z（P）=Q（8，1），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）給出z=3+4i，若P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上運(yùn)動，Q=z（P），求|OQ|的取值范圍；
（3）已知P在雙曲線x²-y²=1上運(yùn)動，試問是否存在z，使得Q=z（P）在雙曲線y=$\frac{1}{x}$上運(yùn)動？若存在，請求出z；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，有8+i=（1+2i）•p，從而p=$\frac{（8+i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=\frac{10-15i}{5}=2-3i$，求得P點(diǎn)坐標(biāo)
（2））由P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上運(yùn)動，則|p|=|OP|∈[2，3]又根據(jù)|z|=5求得|OQ|．
（3）假設(shè)存在，分別求出對應(yīng)的點(diǎn)，得出兩者矛盾，即不存在．

解答 解：（1）根據(jù)題意，有8+i=（1+2i）•p
∴p=$\frac{（8+i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=\frac{10-15i}{5}=2-3i$，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）
（2）∵P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上運(yùn)動，∴|p|=|OP|∈[2，3]
又|z|=5，∴|OQ|=|q|=|p$•\\;p$z|∈[10，15]
（3）不存在．
假設(shè)存在z=a+bi（a，b∈R），使得Q=z（P）在曲線$y=\frac{1}{x}$上運(yùn)動．
在直線y=3x+1上取點(diǎn)P1（0，1），所以q₁=z•p₁=-b+ai，對應(yīng)的Q1（-b，a）在曲線$y=\frac{1}{x}$上，所以-b=$\frac{1}{a}$，即ab=-1．
再取點(diǎn)P₂（$-\frac{1}{3}，0$），所以${q}_{1}=z•{p}_{1}=-\frac{a}{3}+（-\frac{3}）i$，對應(yīng)的點(diǎn)Q1（$-\frac{a}{3}，-\frac{3}$）在曲線$y=\frac{1}{x}$上，所以$-\frac{3}=-\frac{a}{3}$
即ab=9．
二者矛盾，所以不存在滿足條件的z．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)平面內(nèi)的新定義題，借助圓錐曲線來考查綜合問題，屬于中檔題，考查考生借助新定義解題的能力．