Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足，a_n+1+a_n=2n．
（1）當a₁=$\frac{1}{2}$時，求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（2）若對任意n∈N^*，都有$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$≥4成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當n為偶數(shù)時，S=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n），當n是奇數(shù)時，S=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n），然后由等差數(shù)列的前n項和得答案；
（2）由遞推式得出a_n+2-a_n=2，可判斷奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列，公差為2，當n為奇數(shù)時，a_n=a₁+n-1，a_n+1=n+1-a₁，得出${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}≥-{n}^{2}+4n-1$，構(gòu)造函數(shù)求最值求解；當n為偶數(shù)時，a_n=n-a₁，a_n+1=n+a₁，得出${{a}_{1}}^{2}≥-{n}^{2}+4n$，構(gòu)造函數(shù)求最值求解，最后對a₁的范圍取并集得答案．

解答 解：（1）由a_n+1+a_n=2n，
當n為奇數(shù)時，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）
=$\frac{1}{2}+2[2+4+…+（n-1）]$=$\frac{1}{2}+2×\frac{（2+n-1）×\frac{n-1}{2}}{2}=\frac{{n}^{2}}{2}$；
當n為偶數(shù)時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=2[1+3+…+（n-1）]=2×$\frac{（1+n-1）×\frac{n-1}{2}}{2}$=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{2}，n為奇數(shù)}\\{\frac{{n}^{2}-n}{2}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（2）由a_n+1+a_n=2n，得a_n+2+a_n+1=2（n+1），
∴a_n+2-a_n=2，則數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公差的等差數(shù)列．
當n為奇數(shù)時，a_n=n-1+a₁，a_n+1=n+1-a₁，
∵$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$≥4，∴${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}≥-{n}^{2}+4n-1$．
令f（n）=-n²+4n-1，∴f（n）_max=3，
由${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}≥3$，解得a₁≤-1或a₁≥3；
當n為偶數(shù)時，a_n=n-a₁，a_n+1=n+a₁，
∵$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$≥4，∴${{a}_{1}}^{2}≥-{n}^{2}+4n$．
令g（n）=-n²+4n，∴g（n）_max=4，
由${{a}_{1}}^{2}≥4$，解得a₁≤-2或a₁≥2．
綜上，a₁的范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評 本題綜合考查數(shù)列與函數(shù)，等差數(shù)列的通項公式，考查分類討論思想、整體思想的運用，屬于難題．