Question

5．已知二次函數(shù)的圖象過點（-3，0），（1，0），且頂點到x軸的距離等于2，則此二次函數(shù)的表達式為y=$\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{3}{2}$，或y=-$\frac{1}{2}{x^2}-x+\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 法一：設(shè)函數(shù)為交點式，利用二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2，可得函數(shù)解析式；
法二：設(shè)函數(shù)為頂點式，利用函數(shù)圖象過點（1，0），可得函數(shù)解析式．

解答 解：法一：∵二次函數(shù)的圖象過點（-3，0），（1，0），
∴可設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+3）（x-1）（a≠0），
展開，得 y=ax²+2ax-3a，
頂點的縱坐標為 $\frac{{-12{a^2}-4{a^2}}}{4a}=-4a$，
由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2，
∴|-4a|=2，即a=$±\frac{1}{2}$．
所以，二次函數(shù)的表達式為y=$\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{3}{2}$，或y=-$\frac{1}{2}{x^2}-x+\frac{3}{2}$．
法二：∵二次函數(shù)的圖象過點（-3，0），（1，0），
∴對稱軸為直線x=-1．
又頂點到x軸的距離為2，
∴頂點的縱坐標為2，或-2．
于是可設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+1）²+2，或y=a（x+1）²-2，
由于函數(shù)圖象過點（1，0），
∴0=a（1+1）²+2，或0=a（1+1）²-2．
∴a=-$\frac{1}{2}$，或a=$\frac{1}{2}$．
所以，所求的二次函數(shù)為y=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+2，或y=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2．
故答案為：y=$\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{3}{2}$，或y=-$\frac{1}{2}{x^2}-x+\frac{3}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求法，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．．