Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，其中，四邊形ABCD為正方形，△PAD是正三角形，M是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AM⊥平面PCD；
（2）設(shè)二面角P-BC-A的大小為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得CD⊥AD，從而AM⊥CD，由正三角形性質(zhì)得AM⊥PD，由此能證明AM⊥平面PCD．
（2）作PO⊥平面ABCD，交AD于O，過(guò)O作OE⊥BC，交BC于E，連結(jié)AE，則由三垂線定理，得∠PEO=θ，由此能求出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，
∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∵AM?平面PAD，∴AM⊥CD，
∵△PAD是正三角形，M是PD中點(diǎn)，∴AM⊥PD，
∵PD∩CD=D，∴AM⊥平面PCD．
（2）解：作PO⊥平面ABCD，交AD于O，過(guò)O作OE⊥BC，交BC于E，連結(jié)AE，
則由三垂線定理，得∠PEO=θ，
設(shè)AB=2，則PO=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，OE=2，PE=$\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$，
∴cosθ=$\frac{OE}{PE}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．