Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，PF₁與以F₂為圓心，|OF₂|為半徑的圓相切于點(diǎn)Q，且Q恰好是PF₁的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}-1$

Answer 1

分析 由題意可得PF₁⊥QF₂，又Q為PF₁的中點(diǎn)，即有△PF₁F₂為等腰三角形，PF₂=F₁F₂=2c，運(yùn)用雙曲線的定義和離心率公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：由PF₁與以F₂為圓心，|OF₂|為半徑的圓相切于點(diǎn)Q，
可得PF₁⊥QF₂，又Q為PF₁的中點(diǎn)，
即有△PF₁F₂為等腰三角形，PF₂=F₁F₂=2c，
由QF₂=c，可得PF₁=2$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義可得PF₁-PF₂=2a，
即為2$\sqrt{3}$c-2c=2a，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查直徑所對(duì)的圓周角為直角，以及等腰三角形的性質(zhì)，考查離心率公式的運(yùn)用，屬于中檔題．