Question

18．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），且過點(diǎn)（-1，$\frac{3}{2}$），右頂點(diǎn)為A，經(jīng)過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）記△AOB和△AOC的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)落在直線TC上？若存在，則求出T點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用焦點(diǎn)為F（1，0），且過點(diǎn)（-1，$\frac{3}{2}$），列出方程，然后求解橢圓方程．
（2）設(shè)直線l方程為：x=my+1．與橢圓聯(lián)立，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），（y₁＞0，y₂＜0），利用韋達(dá)定理，通過當(dāng)m=0時(shí)，顯然|S₁-S₂|=0；當(dāng)m≠0時(shí)，$|{{S_1}-{S_2}}|=|{\frac{1}{2}•2•{y_1}-\frac{1}{2}•2•（-{y_2}）}|$，求解|S₁-S₂|的最大值．
（3）假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)T（t，0）滿足已知條件，利用k_TB=-k_TC，求出t﹒說明存在點(diǎn)T（4，0）滿足條件．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1\\{a}^{2}-^{2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（3分）
（2）設(shè)直線l方程為：x=my+1．
聯(lián)立C得（3m²+4）y²+6my-9=0
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），（y₁＞0，y₂＜0），則${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$
當(dāng)m=0時(shí)，顯然|S₁-S₂|=0；
當(dāng)m≠0時(shí)，$|{{S_1}-{S_2}}|=|{\frac{1}{2}•2•{y_1}-\frac{1}{2}•2•（-{y_2}）}|$=$|{{y_1}+{y_2}}|=\frac{6|m|}{{3{m^2}+4}}$=$\frac{6}{{3|m|+\frac{4}{|m|}}}≤\frac{6}{{2\sqrt{3|m|•\frac{4}{|m|}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)$3|m|=\frac{4}{|m|}$，即$m=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$時(shí)取等號(hào)
綜合得$m=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，|S₁-S₂|的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（8分）
（3）假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)T（t，0）滿足已知條件，則k_TB=-k_TC
即$\frac{y_1}{{{x_1}-t}}=-\frac{y_2}{{{x_2}-t}}⇒{y_1}（{x_2}-t）+{y_2}（{x_1}-t）=0$
⇒y₁（my₂+1-t）+y₂（my₁+1-t）=0⇒2my₁y₂+（1-t）（y₁+y₂）=0$⇒2m•\frac{-9}{{3{m^2}+4}}+（1-t）•\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}=0$
整理得：（4-t）•m=0，
∵m任意，∴t=4﹒故存在點(diǎn)T（4，0）滿足條件﹒…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，存在性問題的處理方法，韋達(dá)定理以及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．