Question

13．設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦距為2c，A（-2c，0），B（2c，0），如果橢圓上存在一點(diǎn)P，使得AP⊥BP，則離心率的取值范圍為（　　）

• A． $[\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\frac{1}{2}）$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{4}{5}）$
• C． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• D． $（0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}]$

Answer 1

分析 設(shè)P（acosα，bsinα），則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=a²cos²α-4c²+b²sin²α=0，從而e²=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}si{n}^{2}θ}{4{a}^{2}}$，0＜θ＜2π，由此能求出離心率的取值范圍．

解答 解：∵橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦距為2c，A（-2c，0），B（2c，0），
橢圓上存在一點(diǎn)P，使得AP⊥BP，
∴設(shè)P（acosα，bsinα），則$\overrightarrow{AP}$=（acosα+2c，bsinα），$\overrightarrow{BP}$=（acosα-2c，bsinα），
∵AP⊥BP，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=a²cos²α-4c²+b²sin²α=0，
∴e²=$\frac{4{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}co{s}^{2}θ+^{2}si{n}^{2}θ}{4{a}^{2}}$
=$\frac{{a}^{2}co{s}^{2}θ+{a}^{2}si{n}^{2}θ-{c}^{2}sinθ}{4{a}^{2}}$
=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}si{n}^{2}θ}{4{a}^{2}}$，0＜θ＜2π，
∴當(dāng)θ→0時(shí)，e=$\frac{1}{2}$；當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴離心率的取值范圍為[$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．