Question

7．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)A（0，-2），若射線FA與拋物線C交于點(diǎn)M，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MN|：|FN|的值是（　�。�

• A． （$\sqrt{5}$-2）：$\sqrt{5}$
• B． 2：$\sqrt{5}$
• C． 1：2$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}$：（1+$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 求出拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得到AF的斜率k=2．過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根據(jù)tan∠NMP=k=2，從而得到|PN|=2|PM|，進(jìn)而算出|MN|=$\sqrt{5}$|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（$\sqrt{5}+1$）|PM|，則答案可求．

解答 解：∵拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，-2），
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為l：x=-1，直線AF的斜率為k=2，
過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠NMP=k=2，
∴$\frac{|PN|}{|PM|}=2$，可得|PN|=2|PM|，
得|MN|=$\sqrt{|PN{|}^{2}+|PM{|}^{2}}=\sqrt{5}$|PM|，
而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（$\sqrt{5}+1$）|PM|，
∴|MN|：|FN|=$\sqrt{5}$：（1+$\sqrt{5}$），
故選：D．

點(diǎn)評 本題給出拋物線方程和射線FA，求線段的比值．著重考查了直線的斜率、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．