Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD．
（1）求證：平面ABD⊥平面ACD；
（2）若AB=BC=2BD，求二面角B-AC-D的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由AB⊥CD，BD⊥CD，得CD⊥平面ABD．由此能證明平面ABD⊥平面ACD．
（2）過(guò)D作DE⊥BC于E，由AB⊥DE知，DE⊥平面ABC，從而DE⊥AC．過(guò)E作EF⊥AC于F，連接DF，∠DFE就是二面角B-AC-D的平面角．由此能求出二面角B-AC-D的正切值．

解答： （1）證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD．
又BD⊥CD，且BD∩AB=B，
∴CD⊥平面ABD．
又CD?平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD．…（5分）
（2）解：如圖，過(guò)D作DE⊥BC于E，由
AB⊥DE知，DE⊥平面ABC，
∴DE⊥AC．過(guò)E作EF⊥AC于F，連接DF，
∴AC⊥平面DEF，則AC⊥DF，
∴∠DFE就是二面角B-AC-D的平面角．
設(shè)BD=x，則AB=BC=2x．
在Rt△BDC中，CD=

3

x，BD•CD=BC•DE，
則DE=

3

2

x，BE=

1

2

x，CE=

3

2

x．由Rt△CEF∽R(shí)t△CAB得

EF

CE

=

AB

AC

，
∴EF=

3 2

4

x，∴在Rt△DEF中，tan∠DFE=

DE

EF

=

3 2 x

3 2 4 x

=

6

3

．
故二面角B-AC-D的正切值為

6

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．