Question

7．設(shè)命題p：方程x²+2mx+1=0有兩個不相等的負根，命題q：?x∈R，x²+2（m-2）x-3m+10≥0恒成立．
（1）若命題p、q均為真命題，求m的取值范圍；
（2）若命題p∧q為假，命題p∨q為真，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程與一元二次函數(shù)的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）根據(jù)復合命題p∧q為假，命題p∨q為真，得到p、q一真一假，進行求解即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+2mx+1
∵方程x²+2mx+1=0有兩個不相等的負根
∴函數(shù)f（x）=x²+2mx+1圖象與x軸負半軸有兩個不同的交點
∴滿足的條件為$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\\{f（0）=1＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞1或m＜-1}\\{m＞0}\end{array}\right.$
∴實數(shù)m的取值范圍m＞1
故實數(shù)m的取值范圍（1，+∞），
若命題q為真，則有△=4（m-2）²-4（-3m+10）≤0
解得-2≤m≤3．
若p、q均為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{-2≤m≤3}\end{array}\right.$，即1＜m≤3．
（2）由p∨q為真，p∧q為假知，p、q一真一假．
①當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m＜-2或m＞3}\end{array}\right.$，
即m＞3；
②當p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{-2≤m≤3}\end{array}\right.$，
即-2≤m≤1．
∴實數(shù)m的取值范圍是m＞3或-2≤m≤1．
綜上可述，實數(shù)m的取值范圍為（3，+∞）∪[-2，1]．

點評 本題考查復合命題的真假的判定，考查函數(shù)與方程的思想，求出命題的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．