Question

17．設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的函數(shù)，且滿足f（-x）=-f（x），函數(shù)g（x）=f（-x），且當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，g（x）=lnx-ax²．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對(duì)于區(qū)間（0，1]上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）的奇偶性分別求出f（x）在（0，1]，[-1，0）以及x=0時(shí)的解析式，
（2）分情況討論a的符號(hào)，采用分離參數(shù)法得出a≥$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題求解．

解答 解：（1）∵g（x）=f（-x）=-f（x），
∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=-g（x）=ax²-lnx，
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，-x∈（0，1]，∴f（-x）=ax²-ln（-x）．
∴f（x）=-f（-x）=ln（-x）-ax²．
∵f（-x）=-f（x），∴f（0）=-f（0），∴f（0）=0．
綜上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）-a{x}^{2}，-1≤x＜0}\\{0，x=0}\\{a{x}^{2}-lnx，0＜x≤1}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=ax²-lnx，
若a=0，則|f（x）|=-lnx，顯然當(dāng)x=1時(shí)，|f（x）|=0，不符合題意．
若a＜0，作出y=ax²和y=lnx的圖象如圖，
由函數(shù)圖象可得：存在x₀∈（0，1）使得ax₀²-lnx₀=0，即|f（x₀）|=0，不符合題意．
若a＞0，則ax²＞0，lnx＜0，∴|f（x）|=ax²-lnx≥1．∴a≥$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$，則h′（x）=$\frac{-1-2lnx}{{x}^{3}}$，令h′（x）=0，解得x=e${\;}^{-\frac{1}{2}}$．
∴當(dāng)0＜x＜e${\;}^{-\frac{1}{2}}$時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)e${\;}^{-\frac{1}{2}}$＜x≤1時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）上單調(diào)遞增，在（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，1]上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=e${\;}^{-\frac{1}{2}}$時(shí)，h（x）取得最大值$\frac{e}{2}$．
∵對(duì)于區(qū)間（0，1]上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，
∴a≥$\frac{lnx+1}{{x}^{2}}$恒成立，∴a≥$\frac{e}{2}$．
∴a的取值范圍是[$\frac{e}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題的求解以及分類討論思想，屬于中檔題．