Question

15．判斷函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{x^2}+1}}$在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，計(jì)算f（x₁）-f（x₂）并化簡(jiǎn)，判定f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，得出結(jié)論．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)．
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$．
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₂²-x₁²＞0，（x₁²+1）（x₂²+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判定與證明，屬于基礎(chǔ)題．