Question

6．四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面垂直，又底面ABCD為矩形，E是PD中點．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（2）若PB⊥AC，且PA=2，求三棱錐E-PBC的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO，可證EO∥PB，即可證明PB∥平面EAC．
（2）做PF⊥底面ABCD，垂足為F，則F在AD上，連接BF交AC于M，利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐E-PBC的體積．

解答 （1）證明：連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO，
∵O、E分別為BD、PD的中點，
∴EO∥PB，E0?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面EAC；
（2）解：做PF⊥底面ABCD，垂足為F，則F在AD上，
∵PA=PD，
∴F為AD中點，
連接BF交AC于M，
∵PF⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PF，
∵AC⊥PB，PB∩PF=P，
∴AC⊥平面PBF，
∴AC⊥BF，
∵AD=PA=2，
∴AF=FD=1，BC=2，
∵△AMF∽△ADC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AF}{AC}$，
設(shè)AB=x，則$\frac{AM}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$，
∵AM$\sqrt{1+{x}^{2}}$=x，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴V_E-PBC=$\frac{1}{2}{V}_{D-PBC}$=$\frac{1}{4}{V}_{P-ABCD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，體積的計算，考查了空間想象能力和推論論證能力，屬于中檔題．