Question

4．已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)的和為S_n（n∈N^*），點(diǎn)（n，S_n）在拋物線y=2x²+3x上；各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁b₃=$\frac{1}{16}$，b₅=$\frac{1}{32}$．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)數(shù)列；
（2）記c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）易得S_n=2n²+3n，令n=1可得首項(xiàng)a₁，當(dāng)n≥2時(shí)可得a_n=S_n-S_n-1，代入可得通項(xiàng)，設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，可建立關(guān)于b₁，q的方程組，解之可得；
（2）由（1）可得c_n=（4n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，由錯(cuò)位相減法可求和．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，S_n）在拋物線y=2x²+3x上，
∴S_n=2n²+3n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=5，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2（n-1）²+3（n-1），
∴a_n=S_n-S_n-1=4n+1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列，
∴a_n=4n+1；
又∵各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁b₃=$\frac{1}{16}$，b₅=$\frac{1}{32}$，
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∴b₂=b₁q=$\frac{1}{4}$，b₁q⁴=$\frac{1}{32}$，
解得b₁=$\frac{1}{2}$，q=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（2）由（1）可知c_n=（4n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=5•$\frac{1}{2}$+9•$\frac{1}{4}$+13•$\frac{1}{8}$+…+（4n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ①
∴$\frac{1}{2}$T_n=5•$\frac{1}{4}$+9•$\frac{1}{8}$+13•$\frac{1}{16}$+…+（4n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹②
②-①知$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{5}{2}$+4（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（4n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{5}{2}$+4•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（4n+1））•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得T_n=9-（4n+9）））•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，涉及錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題．