Question

13．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的一點M的橫坐標為3，焦點為F，且|MF|=4．直線l：y=2x-4與拋物線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若P是x軸上一點，且△PAB的面積等于9，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入計算即可得出答案；
（Ⅱ）先求出AB的長度，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求得點P的坐標．

解答 解：（Ⅰ）依題意得，$\frac{P}{2}$+3=4，∴p=2，
∴拋物線方程為C：y²=4x；
（Ⅱ）將直線方程與拋物線的方程進行聯(lián)立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得，y²-2y-8=0，∴A（1，-2），B（4，4），
∴|AB|=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
設P（a，0），P到直線AB的距離為d，則d=$\frac{|2a-0-4|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{2|a-2|}{\sqrt{5}}$，
又S_△ABP=$\frac{1}{2}$|AB|•d，
代入計算可得，|a-2|=3，
∴a=5或a=-1，
故點P的坐標為（5，0）和（-1，0）

點評 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．