Question

20．已知A，B是圓C：x²+y²=1上兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-1，點(diǎn)P是直線x-y-2=0上一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值是（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 先求出A、B兩點(diǎn)在圓的直徑上，再利用數(shù)形結(jié)合法得出$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$共線同向且過(guò)圓心時(shí)$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值最小，由此求出最小值．

解答 解：設(shè)A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-1，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=-1，
∴α-β=π+2kπ，k∈Z；
令k=0，得α=β+π；

又點(diǎn)P是直線x-y-2=0上一點(diǎn)，
∴當(dāng)$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$共線同向且過(guò)圓心時(shí)，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值最小，如圖所示；
又|OP|=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值是（$\sqrt{2}$-1）（$\sqrt{2}$+1）=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．