Question

15．已知函數(shù)f（x）=ln（a+x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為1．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：f（x）≤x；
（3）證明：f（$\frac{1}{{1}^{2}}$）+f（$\frac{1}{{2}^{2}}$）+f（$\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+f（$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，即可求得a=1；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-x=ln（1+x）-x，求出導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)區(qū)間，可得極大值也為最大值，即可得證；
（3）由前面的結(jié)論可得f（$\frac{1}{{n}^{2}}$）=ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，當(dāng)n≥2時(shí)，可得$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=ln（a+x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{a+x}$，
可得在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為$\frac{1}{a}$=1，即有a=1；
（2）證明：設(shè)g（x）=f（x）-x=ln（1+x）-x，
g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有x=0處取得極大值，且為最大值0，
則g（x）≤0，即為f（x）≤x；
（3）證明：由（1）可得f（$\frac{1}{{n}^{2}}$）=ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$），
由（2）可得ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，可得$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
即有f（$\frac{1}{{1}^{2}}$）+f（$\frac{1}{{2}^{2}}$）+f（$\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+f（$\frac{1}{{n}^{2}}$）
＜1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=2-$\frac{1}{n}$＜2．
則原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和不等式的性質(zhì)、裂項(xiàng)相消求和和放縮法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．