Question

6．已知雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，過點(diǎn)P（1，1）能否做一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？若能，求出直線l的方程，若不能，說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的斜率為k，代入A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用方程相減，結(jié)合直線的斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，由點(diǎn)斜式方程可得直線方程，再代入雙曲線的方程，由判別式的符號即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的斜率為k，
則有$\left\{{\begin{array}{l}{x_1^2-\frac{y_1^2}{4}=1}\\{x_2^2-\frac{y_2^2}{4}=1}\end{array}}\right.$，
兩式相減可得，x₂²-x₁²=$\frac{1}{4}$（y₂²-y₁²），
整理可得，$k=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{4（{x_1}+{x_2}）}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{4×2}{2}=4$，
可得直線l的方程為y-1=4（x-1），即4x-y-3=0．
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-\frac{y^2}{4}=1}\\{4x-y-3=0}\end{array}}\right.$，消y并化簡得，12x²-24x+13=0，
△=24²-4×12×13=-48＜0，方程沒有實(shí)數(shù)解，
故過點(diǎn)P（1，1）不能做一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，
且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的運(yùn)用，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，運(yùn)用判別式大于0，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．