Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線互相垂直.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，代入g（x），對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A處的切線與g（x）的圖象在點(diǎn)B處的切線互相垂直列式求t值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）＝kg（x）﹣2f（x）＝2kex（x+1）﹣2x2﹣8x﹣4，（x≥﹣2），求其導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)求得函數(shù)最小值，可得k的取值范圍．

（Ⅰ）由得，.

于是，所以.

函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直，所以，即

（Ⅱ），.

設(shè)函數(shù)=（），

則=.

由題設(shè)可知，即.令 得 ， .

（1）若，則，此時(shí)，，，

，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在取

最小值.

而

當(dāng)時(shí),，即恒成立.

②若則，此時(shí)

在單調(diào)遞增，而 ，

當(dāng)時(shí),，即恒成立.

③若則，此時(shí) .

當(dāng)時(shí)， 不能恒成立.

綜上所述，的取值范圍是