Question

15．已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、對(duì)稱軸和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）與f（x）關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱，求g（x）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$，由周期公式可求最小正周期，由$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$得對(duì)稱軸．由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$得單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）設(shè)g（x）圖象上任意一點(diǎn)為（x，y），點(diǎn)（x，y）關(guān)于$x=\frac{π}{4}$對(duì)稱的點(diǎn)$（\frac{π}{2}-x，y）$在函數(shù)f（x）上，可得g（x）解析式，結(jié)合x的范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值及最小值．

解答 解：由$f（x）=cosx•sin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$cosx•（sinx•cos\frac{π}{3}+cosx•sin\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{2}sinx•cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}（1+cos2x）+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$…（3分）
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$…（4分）
令$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，故對(duì)稱軸為$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}（k∈Z）$…（5分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}（k∈Z）$，
即單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]（k∈Z）$…（7分）
（Ⅱ）設(shè)g（x）圖象上任意一點(diǎn)為（x，y），
點(diǎn)（x，y）關(guān)于$x=\frac{π}{4}$對(duì)稱的點(diǎn)$（\frac{π}{2}-x，y）$在函數(shù)f（x）上，即$g（x）=f（\frac{π}{2}-x）=\frac{1}{2}sin[2（\frac{π}{2}-x）-\frac{π}{3}]=\frac{1}{2}sin（\frac{2π}{3}-2x）=-\frac{1}{2}sin（2x-\frac{2π}{3}）$…（8分）
又$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$，所以$-\frac{7π}{6}≤2x-\frac{2π}{3}≤\frac{π}{3}$，則$-\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}sin（2x-\frac{2π}{3}）≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
故$g（x）∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{1}{2}]$…（9分）
所以$g{（x）_{min}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；$g{（x）_{max}}=\frac{1}{2}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．