Question

19．在直角坐標系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數，其中0≤α＜π）．以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂：ρ+$\frac{9}{ρ}$=4cosθ-6sinθ（ρ＞0）
（I）當α=$\frac{3π}{4}$時，設曲線C₁與C₂交于A、B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）已知曲線C₁過定點P，Q是曲線C₂上的動點，求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出曲線C₂的普通方程，將直線C₁的參數方程代入C₂的普通方程，利用參數的幾何意義和根與系數的關系求出|AB|；
（II）求出P到圓C₂的圓心的距離和圓的半徑r，判斷P與圓的位置關系，根據位置關系得出最大值和最小值．

解答 解：（I）當α=$\frac{3π}{4}$時，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
∵曲線C₂的極坐標方程為ρ+$\frac{9}{ρ}$=4cosθ-6sinθ，即ρ²-4ρcosθ+6ρsinθ+9=0．
∴曲線C₂的直角坐標方程為x²+y²-4x+6y+9=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²-4x+6y+9=0，整理得t²+7$\sqrt{2}$t+21=0，
∴t₁+t₂=-7$\sqrt{2}$，t₁t₂=21．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{14}$．
（II）P（-1，1），曲線C₂的標準方程為（x-2）²+（y+3）²=4，
∴曲線C₂表示圓心為M（2，-3），半徑為2的圓．
∴PM=$\sqrt{（2+1）^{2}+（-3-1）^{2}}$=5，
∴3≤|PQ|≤7．

點評 本題考查了參數方程，極坐標方程與普通方程的轉化，直線與圓，點與圓的位置關系，屬于中檔題．