【題目】已知橢圓C：（）的焦距等于短軸的長，橢圓的右頂點到左焦點的距離為．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知直線l：（）與橢圓C交于A、B兩點，在y軸上是否存在點，使得，且，若存在，求實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）由題意可得的關(guān)系,解方程組求得,即可得橢圓的標準方程.

（2）設(shè),,聯(lián)立直線與橢圓方程,用韋達定理表示出,,利用弦長公式表示出.化簡后用表示出,再通過判別式判斷出的取值范圍. 設(shè)出中點的坐標,由點斜式表示出直線的方程,并令求得的表達式及取值范圍即可.

（1）依題意橢圓的焦距等于短軸的長,橢圓的右頂點到左焦點的距離為

可得,

解得,

所以所求橢圓方程為；

（2）設(shè),,

由,

得,

,

∵,,

假設(shè)存在點滿足題意,

,

化簡整理得,

此時

恒成立,

所以且,

設(shè)中點,

則,,

由,則在線段AB的中垂線上.

因為,

直線的方程為,

令,則,

∴,

∵,

∴,

∴,

∴,

∴或,

綜上,存在滿足題意.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點、，

（1）若兩點到直線的距離都為，求直線的方程；

（2）若兩點到直線的距離都為，試根據(jù)的取值討論直線存在的條數(shù)，不需寫出直線方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某幼兒園舉辦“yue”主題系列活動——“悅”動越健康親子運動打卡活動，為了解小朋友堅持打卡的情況，對該幼兒園所有小朋友進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

打卡天數(shù)

17

18

19

20

21

男生人數(shù)

3

5

3

7

2

女生人數(shù)

3

5

5

7

3

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該幼兒園男生平均打卡的天數(shù)；

（2）若從打卡21天的小朋友中任選2人交流心得，求選到男生和女生各1人的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，側(cè)面底面，，底面為直角梯形，其中，，，O為中點.

（1）求證：平面；

（2）求凸多面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，設(shè)直線，其中，給出下列結(jié)論：

①直線的方向向量與向量共線；

②若，則直線與直線的夾角為；

③直線與直線（）一定平行；

寫出所有真命題的序號________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線的方程為，曲線是以坐標原點為頂點，直線為準線的拋物線.以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系.

（1）分別求出直線與曲線的極坐標方程：

（2）點是曲線上位于第一象限內(nèi)的一個動點，點是直線上位于第二象限內(nèi)的一個動點，且，請求出的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線：的左、右焦點分別是、，左、右兩頂點分別是、，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長線與線段CD相交于點如圖)．

⑴若是的一條漸近線的一個方向向量，試求的兩漸近線的夾角；

⑵若，，，，試求雙曲線的方程；

⑶在⑴的條件下，且，點C與雙曲線的頂點不重合，直線和直線與直線l：分別相交于點M和N，試問：以線段MN為直徑的圓是否恒經(jīng)過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠預(yù)購軟件服務(wù)，有如下兩種方案：

方案一：軟件服務(wù)公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務(wù)每次10元；

方案二：軟件服務(wù)公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務(wù)不超過15次，不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務(wù)每次收費標準為20元.

（1）設(shè)日收費為元，每天軟件服務(wù)的次數(shù)為，試寫出兩種方案中與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該工廠對過去100天的軟件服務(wù)的次數(shù)進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.

（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；

（Ⅱ）求二面角OEFC的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.

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