Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）定義域為R，f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），當x∈[0，1]時，f（x）=x³，則函數(shù)g（x）=|cos（πx）|-f（x）在區(qū)間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上的所有零點的和為7．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的對稱性和奇偶性可知f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上共有3條對稱軸，x=0，x=1，x=2，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性可知y=|cos（πx）|也關(guān)于x=0，x=1，x=2對稱，故而g（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上3條對稱軸，根據(jù)f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函數(shù)圖象，判斷g（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上的零點分布情況，利用函數(shù)的對稱性得出零點之和．

解答 解：∵f（x）=f（2-x），∴f（x）關(guān)于x=1對稱，
∵f（-x）=f（x），∴f（x）關(guān)于x=0對稱，
∵f（x）=f（2-x）=f（x-2），∴f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)，
∴f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上共有3條對稱軸，分別為x=0，x=1，x=2，
又y=|cos（πx）關(guān)于x=0，x=1，x=2對稱，
∴x=0，x=1，x=2為g（x）的對稱軸．
作出y=|cos（πx）|和y=x³在[0，1]上的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）和（$\frac{1}{2}$，1）上各有1個零點，且x=1為g（x）的一個零點．
∴g（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上共有7個零點，
設(shè)這6個零點從小到大依次為x₁，x₂，x₃，…，x₇，
則x₁，x₂關(guān)于x=0對稱，x₃，x₅關(guān)于x=1對稱，x₆，x₇關(guān)于x=2對稱，x₄=1．
∴x₁+x₂=0，x₃+x₅=2，x₆+x₇=4，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇=7．
故答案為：7．

點評 本題考查了函數(shù)的周期性，奇偶性的應用，函數(shù)零點個數(shù)判斷，屬于中檔題．