Question

3．如圖，矩形OABC在變換T的作用下變成了平行四邊形OA′B′C′，變換T所對應(yīng)的矩陣為M，矩陣N是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍的變換所對應(yīng)的矩陣．
（Ⅰ）求矩陣M，N；
（Ⅱ）直線l先在矩陣M，再在矩陣N所對應(yīng)的線性變換作用下像的方程為x+y+1=0．求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)T$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax+by}\\{y′=cx+dy}\end{array}\right.$，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{2a=0}{2c=2}}\\{\stackrel{2a+b=-1}{2c+d=3}}\end{array}\right.$解得a，b，c，d的值，即可求得矩陣M，N．
（Ⅱ）設(shè)直線l上任一點（x，y）依次在矩陣M，N即矩陣NM所對應(yīng)的線性變換作用下對應(yīng)點（x′，y′），可得$\left\{\begin{array}{l}{x′=-2y}\\{y′=3x+3y}\end{array}\right.$代入x′+y′+1=0即可得解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)T$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax+by}\\{y′=cx+dy}\end{array}\right.$，A（2，0）→A′（0，2），B′（2，1）→B′（-1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{2a=0}{2c=2}}\\{\stackrel{2a+b=-1}{2c+d=3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{a=0}{b=-1}}\\{\stackrel{c=1}{d=1}}\end{array}\right.$，即有M=$（\begin{array}{l}{0}&{-1}\\{1}&{1}\end{array}）$，N=$（\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{3}\end{array}）$…4分
（Ⅱ）NM=$（\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{3}\end{array}）（\begin{array}{l}{0}&{-1}\\{1}&{1}\end{array}）（\begin{array}{l}{0}&{-2}\\{3}&{3}\end{array}）$，
設(shè)直線l上任一點（x，y）依次在矩陣M，N即矩陣NM所對應(yīng)的線性變換作用下對應(yīng)點（x′，y′），
則$\left\{\begin{array}{l}{x′=-2y}\\{y′=3x+3y}\end{array}\right.$代入x′+y′+1=0可得3x+y+1=0，
所以，直線l的方程是3x+y+1=0…7分

點評 本題考查了矩陣變換的性質(zhì)，矩陣的乘法，屬于中檔題．