Question

13．某人沿一條折線段組成的小路前進，從A到B，方位角（從正北方向順時針轉到AB方向所成的角）是50°，距離是3km；從B到C，方位角是110°，距離是3km；從C到D，方位角是140°，距離是（$9+3\sqrt{3}$）km．
（Ⅰ）試在圖中畫全大致示意圖，并求A到C的距離；
（Ⅱ）計算出從A到D的距離和方位角．（結果保留根號）

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC通過余弦定理求得AC．
（Ⅱ）利用余弦定理求得AD，進而利用正弦定理求得sin∠CAD，求得∠CAD，則AD的方位角可得．

解答 解：（Ⅰ）示意圖，如圖所示，
連接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+（180°-110°）=120°，
又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°
由余弦定理可得
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cos120°}$=3$\sqrt{3}$    
（Ⅱ）在△ACD中，∠ACD=360°-140°-（70°+30°）=120°，CD=3$\sqrt{3}$+9．
由余弦定理得AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}-2AC•CD•cos120°}$=$\sqrt{27+（3\sqrt{3}+9）^{2}-2×3\sqrt{3}×（3\sqrt{3}+9）×（-\frac{1}{2}）}$     
=9$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\frac{9（\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$（km）．
由正弦定理得sin∠CAD=$\frac{CD•sin∠ACD}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$  
∴∠CAD=45°，于是AD的方位角為50°+30°+45°=125°，
所以，從A到D的距離為$\frac{9（\sqrt{2}+\sqrt{6}）}{2}$km，方位角是125°．

點評 本題主要考查了解三角形的知識，方位角的概念和余弦定理的應用．要求學生對實際問題能準確建模．