Question

12．設數列{a_n}的前n項和S_n，且滿足S_n+1-2S_n=n+1，已知a₁=1．
（1）求a_n的通項公式；
（2）若b_n=n•a_n，求b₁+b₂+…+b_n的值．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系與等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1-2S_n=n+1，
∴n=1時，S₂-2S₁=2，∴a₂-1=2，解得a₂=3．
n≥2時，S_n-2S_n-1=n，相減可得：a_n+1-2a_n=1，變形為：a_n+1+1=2（a_n+1），
由于a₂+1=4，a₁+1=2，滿足上式，
∴數列{a_n+1}是等比數列，首項為2，公比為2．
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=n•a_n=n•2ⁿ-n，
設數列{n•2ⁿ}的前n項和為T_n，
則T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴b₁+b₂+…+b_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ-（1+2+…+n）
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了遞推關系、“錯位相減法”、等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．