Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³-x²+x+1，
（1）求函數(shù)在點(diǎn)（1，2）處的切線(xiàn)
（2）求函數(shù)在點(diǎn)（1，2）處的切線(xiàn)與函數(shù)g（x）=x²圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）先求出切線(xiàn)的斜率，從而求出切線(xiàn)方程；
（2）先畫(huà)出圖象，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)定積分求出圖形的面積即可．

解答 解：（1）∵（1，2）為曲線(xiàn)f（x）=x³-x²+x+1上的點(diǎn)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)（1，2）處的切線(xiàn)的斜率為k，
則k=f′（1）=（3x²-2x+1）|_x=2=2，
∴過(guò)點(diǎn)（1，2）處的切線(xiàn)方程為y-2=2（x-1），即y=2x．
（2）y=2x與函數(shù)g（x）=x²圍成的圖形如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y{=x}^{2}}\end{array}\right.$，可得交點(diǎn)A（2，4）．
∴y=2x與函數(shù)g（x）=x²圍成的圖形的面積
S=${∫}_{0}^{2}$（2x-x²）=（x²-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{2}$=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了求切線(xiàn)的方程問(wèn)題，考察定積分的應(yīng)用，是一道中檔題．