Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=2^x-1-1．
（1）分別作出y=f（|x|）和y=|f（x）|的圖象，
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得方程f（|x|）=a與|f（x）|=a都有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)圖象的變換來作圖；（2）根據(jù)圖象與y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（|x|）=2^x-1-1，當(dāng)x＜0時(shí)，f（|x|）=2^-x-1-1．
作出y=f（|x|）的圖象如下，

作出y=|f（x）|的圖象如下，

（2）由y=f（|x|）的圖象可知當(dāng)a＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，方程f（|x|）=a有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；
由y=|f（x）|的圖象可知當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程|f（x）|=a有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程f（|x|）=a與|f（x）|=a都有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)圖象的變換及圖象與零點(diǎn)的關(guān)系，正確畫出圖象是關(guān)鍵．