Question

16．甲、乙兩人在同一位置向同一目標(biāo)射擊，兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，已知甲每次射擊擊中目標(biāo)的概率為$\frac{1}{2}$，乙連續(xù)射擊三次其中恰有一次擊中目標(biāo)的概率為$\frac{3}{8}$，（乙擊中目標(biāo)的概率為有理數(shù)），若甲射擊三次，乙射擊一次，兩人擊中目標(biāo)的次數(shù)之和為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 先求出乙每次射擊擊中目標(biāo)的概率，再確定ξ的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求出分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：設(shè)乙每次射擊擊中目標(biāo)的概率為P，則${C}_{3}^{1}P•（1-P）^{2}$=$\frac{3}{8}$，∴P=$\frac{1}{2}$．
由題意，ξ=0，1，2，3，4，則
P（ξ=0）=$\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{16}$，P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{2}}•\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}•\frac{1}{{2}^{2}}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}+{C}_{3}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{2}}•\frac{1}{2}$=$\frac{6}{16}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{{2}^{3}}•\frac{1}{2}+{C}_{3}^{2}•\frac{1}{{2}^{2}}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，P（ξ=4）=$\frac{1}{16}$，
∴ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{6}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$

數(shù)學(xué)期望Eξ=0×$\frac{1}{16}$+1×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{6}{16}$+3×$\frac{1}{4}$+4×$\frac{1}{16}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分布列及數(shù)學(xué)期望，考查概率的計(jì)算，確定變量的取值，正確求概率是關(guān)鍵．