Question

8．不等式|y+8|-|y|≤2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$對任意實數(shù)x、y都成立，則常數(shù)a的取值范圍是a≥16．

Answer 1

分析 令f（y）=|y+8|-|y|，利用絕對值不等式可得|y+8|-|y|≤|y+8-y|=8，從而將問題轉(zhuǎn)化為2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$≥f（y）_max=8，令g（x）=-（2^x）²+8×2^x，則a≥g（x）_max=16，從而可得答案．

解答 解：令f（y）=|y+8|-|y|，則f（y）≤|y+8-y|=8，
即f（y）_max=8．
∵不等式|y+8|-|y|≤2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$對任意實數(shù)x，y都成立，
∴2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$≥f（y）_max=8，
∴a≥-（2^x）²+8×2^x=-（2^x-4）²+16恒成立；
令g（x）=-（2^x）²+8×2^x，
則a≥g（x）_max=16，
故答案為：a≥16．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，著重考查化歸思想與構(gòu)造函數(shù)思想，突出恒成立問題的考查，屬于中檔題．