Question

1．已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n•a_n+1=4ⁿ，求S_n．

Answer 1

分析 由題意和遞推公式求出a₂，由a_n•a_n+1=4ⁿ得$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4，利用等比數列的定義判斷出數列的特點，對n分奇數和偶數利用等比數列的前n項和公式分別求出S_n．

解答 解：∵a₁=1，a_n•a_n+1=4ⁿ，∴a₁=1，a₂=$\frac{4}{{a}_{1}}$=4，
∵a_n•a_n+1=4ⁿ，∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{4}^{n+1}}{{4}^{n}}$=4，
則$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=4，
∴數列{a_n}中的奇數項、偶數項都構成以4為公比的等比數列，
（1）當n=2k（k∈N₊）時，則k=$\frac{n}{2}$，
S_n=$\frac{1-{4}^{k}}{1-4}$+$\frac{4（1-{4}^{k}）}{1-4}$=$\frac{5}{3}$（4^k-1）=$\frac{5}{3}$（${4}^{\frac{n}{2}}-1$）=$\frac{5}{3}$（2ⁿ-1）；
（2）當n=2k-1（k∈N₊）時，則k=$\frac{n+1}{2}$，
S_n=$\frac{1-{4}^{k}}{1-4}$+$\frac{4（1-{4}^{k-1}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}$•4^k-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{3}•{2}^{n+2}-\frac{5}{3}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}•{2}^{n+2}-\frac{5}{3}，n為奇數}\\{\frac{5}{3}•{2}^{n}-\frac{5}{3}，n為偶數}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等比數列的定義、前n項和公式，數列遞推公式的化簡與轉化，以及分類討論思想，屬于中檔題．