Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．若a₁＞a₂，b₁＞b₂，且b_i=a_i²（i=1，2，3），則數(shù)列{b_n}的公比為3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，可得d＞0，由數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，可得b₂²=b₁•b₃，代入化簡可得a₁和d的關(guān)系，分類討論可得b₁和b₂，可得其公比．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₁＞a₂可得d＜0，
∴b₁=a₁²，b₂=a₂²=（a₁+d）²，
b₃=a₃²=（a₁+2d）²，
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，∴b₂²=b₁•b₃，
即（a₁+d）⁴=a₁²•（a₁+2d）²，
∴（a₁+d）²=a₁•（a₁+2d）  ①
或（a₁+d）²=-a₁•（a₁+2d），②
由①可得d=0與d＞0矛盾，應(yīng)舍去；
由②可得a₁=$\frac{-2-\sqrt{2}}{2}$d，或a₁=$\frac{-2+\sqrt{2}}{2}$d，
當(dāng)a₁=$\frac{-2-\sqrt{2}}{2}$d時(shí)，可得b₁=a₁²=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}2wuckqm^{2}$
b₂=a₂²=（a₁+d）²=$\frac{1}{2}ou2okeu^{2}$，滿足b₁＞b₂，
當(dāng)a₁=$\frac{-2+\sqrt{2}}{2}$d時(shí)，可得b₁=a₁²=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}8goyeye^{2}$，
b₂=（a₁+d）²=$\frac{1}{2}oc4gmmg^{2}$，此時(shí)顯然與b₁＞b₂矛盾，舍去；
∴數(shù)列{b_n}的公比q=$\frac{_{2}}{_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}eueiosw^{2}}{\frac{3+2\sqrt{2}}{2}kuyewym^{2}}$=$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$=$\frac{3-2\sqrt{2}}{（3+2\sqrt{2}）（3-2\sqrt{2}）}$=3-2$\sqrt{2}$，
綜上可得數(shù)列{b_n}的公比q=3-2$\sqrt{2}$，
故答案為：$3-2\sqrt{2}$

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及分類討論的思想，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．