Question

16．如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜邊AB=4，Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C的直二面角，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）求異面直線AO與CD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）證明平面COD中的直線CO⊥平面AOB即可；
（2）作出異面直線AO與CD所成的角，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可
求出異面直線AO與CD所成角的正切值．

解答 解：（1）如圖所示，
Rt△AOC是通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，
∴CO⊥AO，BO⊥AO；
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，
即∠BOC=90°，
∴CO⊥BO；
又AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB；
又∵CO?面COD，
∴平面COD⊥平面AOB；
（2）作DE⊥OB于點(diǎn)E，連接CE，
∴DE∥AO，
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角；
在 Rt△COE中，CO=BO=$\frac{1}{2}$AB=2，OE=$\frac{1}{2}$BO=1，
∴CE=$\sqrt{{CO}^{2}{+OE}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
又DE=$\frac{1}{2}$AO=$\sqrt{3}$，
∴tan∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
即異面直線AO與CD所成角的正切值是$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直角三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．