Question

5．求面積為10π，且經(jīng)過(guò)兩圓x²+y²-2x+10y-24=0和x²+y²+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程．

Answer 1

分析 解法一：將兩圓的方程聯(lián)立得方程組，求得兩圓的交點(diǎn)A、B坐標(biāo)，可得線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)以及AB的斜率，用點(diǎn)斜式求得線段AB的中垂線方程，設(shè)出圓心C的坐標(biāo)，再根據(jù)CA=$\sqrt{10}$，求得圓心坐標(biāo)，可得所求圓的方程．
解法二：設(shè)所求的圓的方程為x²+y²-2x+10y-24+k（x²+y²+2x+2y-8）=0，再據(jù)半徑為$\sqrt{10}$，求出k的值，可得要求的圓的方程．

解答 解：解法一：將兩圓的方程聯(lián)立得方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-2x+10y-24=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}+2x+2y-8=0}\end{array}\right.$，
解這個(gè)方程組求得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（0，2），可得線段AB的中點(diǎn)C（-2，1），AB的斜率為$\frac{2-0}{0+4}$=$\frac{1}{2}$，
故線段AB的中垂線方程為y-1=-2（x+2），即 y=-2x-3，故可設(shè)圓心C（a，-2a-3），
再根據(jù)CA=$\sqrt{10}$，可得（a+4）²+（-2a-3）²=10．
求得a=-3，從而圓心坐標(biāo)是（-3，3），故所求圓的方程為（x+3）²+（y-3）²=10．
解法二：設(shè)所求的圓的方程為x²+y²-2x+10y-24+k（x²+y²+2x+2y-8）=0，即 （k+1）x²+（k+1）y²+（2k-2）x+（2k+10）y-24-8k=0，
即 x²+y²+$\frac{2k-2}{k+1}$x+$\frac{2k+10}{k+1}$y-$\frac{24+8k}{k+1}$=0．
再根據(jù)所求的圓的面積為10π，可得半徑為$\sqrt{10}$，∴$\frac{1}{4}$×（${（\frac{2k-2}{k+1}）}^{2}$+${（\frac{2k+10}{k+1}）}^{2}$+4•$\frac{24+8k}{k+1}$）=10，
求得k=-2，可得要求的圓的方程為 x²+y²+6x-6y+8=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查了圓的幾何性質(zhì)，圓的方程的求法：待定系數(shù)法求方程的思想方法，圓系方程的概念，屬于中檔題．