Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1，a∈R，且a≠0   
（1）若f（x）在[-1，1]上不單調(diào)，求a的取值范圍；    
（2）設(shè)y=丨f（x）丨，求y在[0，丨a丨]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得f（x）在[-1，1]上不單調(diào)時，它的對稱軸應(yīng)在該區(qū)間內(nèi)，列出不等式，求解即可．
（2）討論a＞0、a=0與a＜0時，f（x）在該區(qū)間上的單調(diào)性，求出最大值即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+1，a∈R，且a≠0，
當(dāng)f（x）在[-1，1]上不單調(diào)時，它的對稱軸應(yīng)滿足-1＜-$\frac{a}{2}$＜1，
∴a的取值范圍是-2＜a＜2；
（2）①當(dāng)a＞0時，y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上單調(diào)遞增，最大值為|f（a）|=2a²+1；
②當(dāng)a=0時，f（0）=f（|a|）=1，
③當(dāng)a＜0時，因為f（-$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
令|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|≤1，即-2$\sqrt{2}$≤a＜0，
|f（x）|_max=|f（0）|=1，
令|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|＞1，即a＜-2$\sqrt{2}$，
|f（x）|_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1；
綜上，y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上的最大值為
|f（x）|_max=$\left\{\begin{array}{l}{{2a}^{2}+1，a＞0}\\{1，-2\sqrt{2}≤a≤0}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-1，a＜-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了含有字母系數(shù)的二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)用分類討論的思想進(jìn)行解答，是綜合性問題．