Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線為l．P為橢圓C上任意一點(diǎn)，直線OQ⊥FP，垂足為Q，直線OQ與l交于點(diǎn)A．
（1）若b=1，且b＜c，直線l的方程為x=-$\frac{5}{2}$
（i）求橢圓C的方程
（ii）是否存在點(diǎn)P，使得$\frac{FP}{FQ}=\frac{1}{10}$？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（2）設(shè)直線FP與圓O：x²+y²=a²交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線AM，AN均與圓O相切．

Answer 1

分析 （1）（i）將b=1代入橢圓的方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)從而求出b，c；（ii）設(shè)P（m，n），表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)FP、FQ的關(guān)系從而得到答案；
（2）設(shè)出M（x₀，y₀），表示出A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，t），求出$\overrightarrow{FM}$，$\overrightarrow{OA}$的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{OA}$=0，求出t，得到$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{OM}$的表達(dá)式，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）（i）由題意，b=1，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{5}{2}$，又a²=b²+c²，
所以2c²-5c+2=0，解得c=2，或c=$\frac{1}{2}$（舍去）．故a²=5．
所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
（ii）設(shè)P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{5}$+n²=1，即n²=1-$\frac{{m}^{2}}{5}$．
當(dāng)m=-2，或n=0時(shí)，均不符合題意； 
當(dāng)m≠-2，n≠0時(shí)，直線FP的斜率為$\frac{n}{m+2}$，
直線FP的方程為y=$\frac{n}{m+2}$ （x+2）．
故直線AO的方程為y=-$\frac{m+2}{n}$x，
Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_Q=$\frac{2n（m+2）}{{（m+2）}^{2}{+n}^{2}}$，
所以$\frac{FP}{FQ}$=|$\frac{n}{yP}$|=|$\frac{{（m+2）}^{2}{+n}^{2}}{2（m+2）}$|
=|$\frac{{4m}^{2}+20m+25}{10（m+2）}$|，
令$\frac{FP}{FQ}$=$\frac{1}{10}$，得4m²+21m+27=0 ①，或4m²+19m+23=0 ②，
由4m²+21m+27=0，解得m=-3，m=-$\frac{9}{4}$，
又-$\sqrt{5}$≤m≤$\sqrt{5}$，所以方程①無(wú)解．
由于△=19²-4×4×23＜0，所以方程②無(wú)解，
故不存在點(diǎn)P使$\frac{FP}{FQ}$=$\frac{1}{10}$．
（3）設(shè)M（x₀，y₀），A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，t），
則$\overrightarrow{FM}$=（x₀+c，y₀），$\overrightarrow{OA}$=（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，t）．
因?yàn)镺A⊥FM，所以$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{OA}$=0，即（x₀+c）（-$\frac{{a}^{2}}{c}$）+ty₀=0，
由題意y₀≠0，所以t=$\frac{{x}_{0}+c}{{y}_{0}}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$．
所以A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{{x}_{0}+c}{{y}_{0}}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$）．
因?yàn)?\overrightarrow{AM}$=（x₀+$\frac{a2}{c}$，y₀-$\frac{{x}_{0}+c}{{y}_{0}}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$），$\overrightarrow{OM}$=（x₀，y₀），
所以$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{OM}$=（x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$）x₀+（y₀-$\frac{{x}_{0}+c}{{y}_{0}}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$）y₀
=x₀²+y₀²+$\frac{{a}^{2}}{c}$x₀-$\frac{{x}_{0}+c}{{y}_{0}}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$y₀
=x₀²+y₀²+$\frac{{a}^{2}}{c}$x₀-$\frac{{a}^{2}}{c}$x₀-a²
=x₀²+y₀²-a²．
因?yàn)镸（x₀，y₀）在圓O上，所以$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{OM}$=0．
即AM⊥OM，所以直線AM與圓O相切．
同理可證直線AN與圓O相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了直線和橢圓的關(guān)系，考察橢圓的方程問(wèn)題，考察向量的應(yīng)用，本題是一道難題．